Introduzione

Scomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come il prodotto di polinomi e monomi che moltiplicati tra loro danno come risultato il polinomio stesso. Si può paragonare la scomposizione in fattori di un polinomio alla scomposizione in fattori dei numeri naturali.

Un polinomio si dice riducibile (scomponibile) se può essere scritto come prodotto di due o più polinomi (detti fattori) di grado maggiore di zero. In caso contrario esso si dirà irriducibile.

Raccoglimento totale

L'operazione da compiere è quella contraria alla moltiplicazione di un monomio per un polinomio.

Procedimento

• trovare il M.C.D. di tutti i termini che formano il polinomio;
• scrivere il polinomio come prodotto del M.C.D. per il polinomio ottenuto dividendo ciascun monomio del polinomio di partenza per il M.C.D.

Esempi

Raccoglimento parziale

Quando un polinomio non ha alcun fattore comune a tutti i suoi termini, possiamo provare a mettere in evidenza tra gruppi di monomi.

Esempio

	Raccogliamo separatamente il 3 e la a.
	La condizione che deve verificarsi per proseguire è che  i polinomi risultanti dalle divisioni devono essere uguali perché bisogna effettuare  un nuovo raccoglimento.

Esempi

Differenza tra due quadrati

(Riconoscimento di somma per differenza)

Un binomio che sia la differenza dei quadrati di due monomi può essere scomposto come prodotto tra la somma dei due monomi (basi dei quadrati) e la loro differenza.

Esempi

Riconoscimento quadrato di un binomio

Dato un  trinomio costituito da due termini che sono quadrati di due monomi ed il terzo termine è uguale al doppio prodotto degli stessi due monomi, allora il trinomio può essere scritto sotto forma di quadrato di un binomio

Procedimento

• individuare le basi dei due quadrati;
• verificare se il terzo termine è il doppio prodotto delle due basi;
• scrivere tra parentesi le basi dei due quadrati e il quadrato fuori dalla parentesi;
• mettere il segno “più” o “meno” in accordo al segno del doppio prodotto.

Esempi

Riconoscimento cubo  di un binomio

 Un quadrinomio è lo sviluppo del cubo di un binomio se due suoi termini sono i cubi di due monomi e gli altri due termini sono i tripli prodotti tra uno dei due monomi ed il quadrato dell’altro.

Esempi

Somma e differenza tra due cubi

Trinomi notevoli

Il trinomio x²+sx+p  risulta scomponibile in(x+m)·(x+n) se s=m+n e p=n·m.

Esempi

Regola di Ruffini

Dato il polinomio P(x), se riusciamo a trovare un numero k per il quale P(k) = 0, allora P(x) è divisibile per il binomio x − k, allora possiamo scomporre P(x) = (x − k) · Q(x), dove Q(x) è il quoziente della divisione tra P(x) e (x − k).

Il problema di scomporre un polinomio P(x) si riconduce quindi a quello della ricerca del numero k che sostituito alla x renda nullo il polinomio.

Se il polinomio è a coefficienti interi il valore k va ricercato tra i divisori del termine noto.

Esempi