Relazione fondamentale della goniometria

Dimostrazione

Considerato il triangolo  osserviamo che:

• il triangolo è rettangolo
• 
• 
•  (raggio della circonferenza goniometrica)

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo

e quindi

Utilizzo della proprietà per risolvere semplici equazioni goniometriche.

Relazione tra seno, coseno e tangente

Dimostrazione 

Considerati i due triangoli  e  osserviamo che:

• 
• 
• 
•  (raggio della circonferenza goniometrica)

Notando che i due triangoli sono simili, possiamo scrivere la seguente proporzione:

Inoltre:

Utilizzo della relazione per svolgere espressioni goniometriche.

Relazione tra seno e coseno di angoli complementari

Dimostrazione 

Considerati i due triangoli  e  , osservando che:

• per costruzione gli angoli in O  dei due triangoli sono, rispettivamente, 90°-α  e α
  
• essendo i triangoli entrambi rettangoli, gli angoli interni sono 90°, 90°-α  e α
  
• l'ipotenusa coincide con il raggio della circonferenza goniometrica

se ne deduce che i due triangoli sono congruenti (secondo criterio di congruenza dei triangoli).

Pertanto, essendo:

•   ne consegue che   
•   ne consegue che   

Utilizzo della relazione per svolgere espressioni goniometriche.