Funzione integrale

 

	Data la funzione y=f(t) continua nell'intervallo [a;b] (per non creare equivoci è stato cambiato il nome della variabile indipendente) Consideriamo il trapezoide AFED con ascissa di E e F pari a x . L'area di questo trapezoide è   La funzione F(x) così definita si chiama funzione integrale.
N.B. - La funzione F(x) è funzione dell'estremo superiore x dell'intervallo di integrazione

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il teorema, anche detto teorema di Torricelli-Barrow, stabilisce un'importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni reali di variabile reale. In particolare dimostra che calcolare il valore dell'integrale di una funzione, a partire da un punto fisso a fino ad un punto variabile x del suo dominio, equivale esattamente a trovare una primitiva della funzione stessa.

 

 Enunciato

Se la funzione integranda f è continua sull'intervallo [a;b], la funzione integrale 

è derivabile e la sua derivata in ogni punto x dell'intervallo risulta  F'(x) = f(x) 

 

Dimostrazione

Consideriamo

    

Per costruire il rapporto incrementale ricaviamo

 

 

 

per il th. della media

 

 Calcoliamo adesso il limite del rapporto incrementale tenendo in considerazione il fatto che

• c è compreso tra x e x+h
• quando h tende a 0, il punto c tende a x

 

 

 

Il teorema puo essere enunciato dicendo che la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda.