Il trapezoide

Sia y=f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b]  e supponiamo che in tale intervallo sia positiva.

Consideriamo il quadrilatero  mistilineo ABCD delimitato dalla curva di equazione y=f(x),  dall’asse x e dalle parallele AD e BC all’asse y. Tale quadrilatero si chiama trapezoide.

Area del trapezoide

L'intervallo [a;b] è stato suddiviso in 2 parti uguali (h1=h2=h) Consideriamo nelle due figure seguenti le aree evidenziate dallo stesso colore
Chiameremo s2 la somma tra le due aree dei rettangoli che "non contengono" la curva (plurirettangolo inscritto)	Chiameremo S2 la somma tra le due aree dei rettangoli che "contengono" la curva (plurirettangolo circoscritto)

Dividendo l'intervallo [a;b] in 5 parti uguali (hi=h)
L'area del plurirettangolo inscritto risulta:	L'area del plurirettangolo circoscritto risulta:

 Considerando l'intervallo [a;b] diviso in n parti uguali, possiamo dedurre che:

inoltre

• s_n ≤  S_n qualunque sia n
• il valore delle somme s_n e  S_n dipende  dalla scomposizione adottata per [a;b]
• s_n e S_n sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni
  
• le due successioni risultano convergenti e convergono verso lo stesso numero che rappresenta l'area del trapezoide

Integrale definito

Si chiama integrale definito della funzione f(x) relativo all'intervallo [a;b] il limite delle due successioni s_n e S_n per n→∞ e si indica con

a è detto estremo inferiore, b è detto estremo superiore e f(x) è detta funzione integranda.

• Il simbolo che indica l’integrale rappresenta una S allungata per ricordare che, nella rappresentazione grafica, ad un integrale corrisponde una somma di aree.

• L’integrale definito è un valore numerico mentre l’ integrale indefinito è un  insieme di funzioni.

Proprieta

a)
b)
c)
d)
e)

Esercizi

Teorema della media

L'integrale definito di una funzione continua  y=f(x) è uguale all'ampiezza dell'intervallo di integrazione [a;b], moltiplicata per il valore che la funzione integranda assume in un conveniente punto c  di questo intervallo ; cioè  

Eventuale dimostrazione del teorema. Esempi