Teoria

Integrazione per scomposizione

Il metodo di integrazione per scomposizione si utilizza in quei casi in cui si riesce a scomporre la funzione integranda f(x) nella somma di un numero finito di funzioni che siano integrabili mediante uno dei metodi noti. In questo caso, si calcola l’integrale ottenuto applicando la proprietà additiva degli integrali.

Esempio

In molti casi è possibile scomporre aggiungendo e togliendo una stessa quantità al numeratore per renderlo semplificabile con il denominatore in modo da ottenere integrali risolvibili.

Esempio

Intervento del docente

Esempi

Teoria

Integrazione per sostituzione (cambio di variabile)

A volte, nel calcolare un integrale, è più conveniente servirsi di una incognita ausiliaria t nel tentativo di ottenere un integrale più semplice da calcolare. I passi da seguire sono:

scegliere la sostituzione opportuna
esprimere la variabile x in funzione di t → x = h(t)
calcolare il differenziale dx = h'(t)dt
operare le opportune sostituzioni nell'integrale dato
calcolare l'integrale ottenuto in funzione di t
operare le sostituzioni in senso inverso nella primitiva ottenuta per riscriverla in funzione di x

Esempio

Calcolare il seguente integrale

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Intervento del docente

Esempi

Teoria

Integrazione per parti

Partendo dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni è possibile dimostrare la seguente relazione

la quale rappresenta la regola di integrazione per parti.

In sostanza, se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della "derivata di una funzione" e della "primitiva dell'altra".