Retta

Teoria

La retta

Forma implicita

Ogni equazione del tipo        rappresenta una retta nel piano cartesiano.

 

Forma esplicita

  

Esplicitando l'equazione rispetto alla y

e ponendo

  

 possiamo scrivere

 

In sostanza passiamo dalla forma esplicita alla forma implicita ricavando i valori di m (coefficiente angolare) e q (ordinata all'origine)

Intervento del docente

Discussione sul coefficiente angolare

 

Intervento del docente

Discussione sull'ordinata all'origine

 

Teoria

Rappresentazione della retta sul piano cartesiano nota la sua equazione 

Si individuano due punti appartenenti alla retta e si disegna l’unica retta che passa per tali punti.

Per individuare i due punti:

  • si porta l’equazione in forma esplicita
  • si attribuiscono a x due valori qualunque e si determinano i relativi valori di y
  • le due coppie di valori rappresentano le coordinate dei due punti cercati

 

e

ESEMPIO

 

 

Intervento del docente

Indicazioni per l'assegnazione dei valori numerici alla x.

Tecnica veloce di disegno di rette a partire dalla forma esplicita

Teoria

Appartenenza di un punto ad una retta 

Per stabilire se un punto appartiene ad una retta, si sostituisce, nella sua equazione

  • ad x la prima coordinata del punto
  • ad y la seconda coordinata del punto

se viene verificata l’uguaglianza il punto appartiene alla retta, altrimenti non appartiene alla retta.

Teoria

Fascio di rette per un punto 

    

Si definisce fascio di rette per un punto tutte le infinite rette passanti per tale punto. 

L’equazione delle infinite rette passanti per il punto A(xa,ya) è

Intervento del docente

Esempi

Teoria

Retta passante per due punti 

    

Partendo dalla formula del fascio di rette per A(xa,ya)

 

e volendo imporre che la retta passi per il punto B(xb,yb), dobbiamo inserire nella formula il giusto coefficiente angolare. Nel nostro caso: 

  

Risistemando il tutto in modo più leggibile possiamo dire che l'equazione della retta passante per due punti si può scrivere nella forma:

 

N.B. xa≠xb e ya≠yb.

Intervento del docente

Esempi. Casi di rette parallele agli assi.

Teoria

Intersezione tra rette 

Fare riferimento al metodi visti (soprattutto il metodo grafico) nel modulo "Sistemi lineari"

Teoria

Parallelismo e perpendicolarità tra rette 

 

 

    

Condizione di parallelismo

Due rette sono parallele se hanno stesso coefficiente angolare

  

 

 

Condizione di perpendicolarità

Due rette sono perpendicolari se hanno i coefficienti angolari antireciproci

 

Intervento del docente

Esempi. Dimostrazione della condizione di perpendicolarità osservando che tgα = - ctg(90°+α)

Teoria

Distanza di un punto da una retta 

    

Svolgere il seguente esercizio

Data la retta r: 2x-y+1=0 (forma esplicita y=2x+1) ed il punto P(5;1) calcolare:

  • La retta s, perpendicolare a r passante per P
  • Il punto Q di intersezione tra la retta r e la retta s
  • La distanza tra i punti P e Q

 

 

E' possibile dimostrare che la distanza tra i punti P e Q (che è anche la distanza del punto P dalla retta r) si può calcolare con una formula diretta. Quindi, data la retta      ed il punto