Teorema di "de l'Hôpital" 

Il teorema di de L’Hôpital è uno strumento molto utile per risolvere, in molti casi, i limiti delle forme indeterminate 0/0 e ∞/∞. A grandi linee il teorema afferma che 

se

oppure

allora

Il teorema vale anche per x tendente ad infinito.

Esempi

Funzioni crescenti e decrescenti

 Poiché la derivata corrisponde al coefficiente angolare della tangente alla curva ne consegue che:

• se in un intervallo la derivata è positiva allora nell'intervallo la funzione sarà crescente
• se invece nell' intervallo la derivata è negativa allora la funzione sarà decrescente

Esempi. Far notare che  90°<α<180°  e  0°< β<90°

Massimi e minimi

Sia f una funzione definita su di un insieme A contenuto in R. Allora:

un punto x₀ si dice essere di  massimo assoluto per la funzione f se 

un punto x₀ si dice essere di  massimo relativo per la funzione f se esiste un intorno H di x₀ tale che

un punto x₀ si dice essere di  minimo assoluto per la funzione f se 

un punto x₀ si dice essere di  minimo relativo per la funzione f se esiste un intorno H di x₀ tale che

NOTA. Se la funzione è continua e derivabile in un intorno H di x₀, allora la tangente in x₀ sarà orizzontale, cioè la derivata avrà valore zero.

Osservazioni

Esempi.

Flessi e concavità

Un punto di flesso  è un punto di una curva in cui la tangente la attraversa, cioè il punto dove la curva cambia di concavità.

Si dimostra che in un intervallo in cui la derivata seconda è positiva, la curva rivolge la concavità verso l’alto; invece, nell’intervallo in cui la derivata seconda è negativa, la curva rivolge la concavità verso il basso. 

Osservazioni

Esempi. Parlare dei flessi a tangente verticale e di radice cubica di x

Indicazioni operative

1) Calcolare f'(x) e f''(x)

2) Studiare il segno della derivata prima per "capire" la monotonia della funzione

3) Risolvere l'equazione f'(x)=0 per determinare i candidati ad essere minimi, massimi e flessi a tangente orizzontale; nei punti dove la derivata seconda è:

• postiva → la funzione presenterà un minimo relativo
• negativa → la funzione presenterà un massimo relativo
• uguale a zero  → la funzione presenta un flesso a tangente orizzontale se la derivata terza è diversa da zero

4) Studiare il segno della derivata seconda per "capire"  dove la funzione presenta concavità verso l'alto o verso il basso.

5) Risolvere l'equazione f''(x)=0 per determinare gli eventuali flessi ascendenti o discendenti. (La derivata terza deve essere diversa da zero nei punti che annullano la derivata seconda: se positiva avremo un flesso ascendente, se negativa un flesso discendente)

Esempi. Considerazioni sui flessi ascendenti e discendenti. Metodo delle derivate successive.