Introduzione

• Consideriamo la funzione continua y = f(x) ed il punto  P(x₀; f(x₀)) appartenente al grafico della funzione

• Consideriamo un incremento h per il punto x₀ ed il punto Q(x₀+h; f(x₀+h)) anch'esso appartenente al grafico della funzione
• I due punti, P e Q, individuano una retta secante al grafico della funzione
• Immaginiamo di ripetere la costruzione considerando il punto Q sempre più vicino al punto P noteremo che al tendere di Q a P la retta secante tende ad assumere una "posizione limite" che prende il nome di retta tangente al grafico nel punto P

Formalizzazione

Incremento della variabile:
Incremento della funzione relativo all'incremento h:
Rapporto incrementale:

La ricerca e lo studio del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell'incremento della variabile indipendente, costituisce la base di tutto il calcolo differenziale.

Questo limite, se esiste ed è finito, si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x₀.

Si dice derivata di una funzione f(x) nel punto x₀ il limite, quando esiste ed è finito, del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell'incremento h della variabile:

e la indicheremo con  f'(x₀) oppure con  y'(x₀)

Significato geometrico della derivata

Ricordando che il coefficiente angolare di una retta passante per due punti è dato dal rapporto delle differenze delle loro coordinate y e x possiamo scrivere:

La retta in questione risulta secante alla curva, ma se si fa tendere h a 0, Q tende a P e quindi la retta diventa tangente alla curva.

Chiamando α l'angolo che la retta forma con l'asse delle x possiamo affermare che:

Si dice funzione derivata di una funzione f,  la funzione f' (definita nell'intervallo in cui f è derivabile) che associa ad ogni punto dell'intervallo il numero f'(x_o), cioè la derivata di f in x_o.

Formule di derivazione

Funzione potenza
casi particolari

Funzioni goniometriche

Funzione logaritma ed esponenziale
casi particolari

Esempi

Regole di derivazione

Esempi

Derivate di ordine superiore

La derivata della derivata di una funzione y = f(x) si chiama derivata seconda di y. Le notazioni più usate sono y'' e f''(x). Analogamente, f'''(x), la derivata terza di f(x), è la derivata di f''(x) e così via per le derivate di ordine  superiore.

Esempi

TEOREMI FONDAMENTALI sul calcolo differenziale: fare riferimento al libro di testo