Si dice che la funzione f(x), definita in tutti i punti di un intervallo [a;b], è continua nel punto c (interno a questo intervallo), se risulta:

Si dice che la funzione f(x) è continua nell'intervallo  [a;b] se è continua in ogni punto di tale intervallo.

NOTA: anche se non è un buon approccio si potrebbe affermare che una funzione è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.

1. Far notare che esistono altre definizioni di continuità
2. Analizzare la continuità delle funzioni elementari

Discontinuità

Semplificando molto la questione possiamo affermare che una funzione si dice discontinua quando non e' continua.

Un punto in cui la funzione non è continua è detto punto di discontinuità o anche punto singolare di f(x).

I punti di discontinuità di una funzione possono essere classificati in tre specie.

Punti di discontinuità di prima specie.

 Si dice che c è un punto di discontinuità di prima specie per una funzione f se la funzione ammette il limite destro ed il limite sinistro, entrambi finiti ma diversi tra loro.

 La differenza     si dice salto della funzione in c. 

Punti di discontinuità di seconda specie.

  Si dice che c è un punto di discontinuità di seconda  specie per una funzione f se, in x=c, uno dei due limiti (destro o sinistro) della funzione è infinito, oppure non esiste.

Punti di discontinuità di terza specie (o eliminabili).

  Si dice che c è un punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile) per una funzione f se, in x=c, la funzione ammette limite finito l ma, la funzione non è definita in c,  oppure f(c)≠l.

Esempi e considerazioni sull'aggettivo "eliminabile" per i punti di discontinuità di terza specie