Introduzione al concetto di limite: esempio con y=1/x

Concetto di limite

Spesso, in molte "questioni matematiche",  non è tanto importante conoscere il valore della funzione in un punto  (valore che potrebbe anche non esistere) quanto i valori che essa assume in prossimità di quel punto.

Il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento

Limite infinito di una funzione in un punto

Esempi

Limite finito di una funzione all'infinito

Esempi

Limite infinito di una funzione all'infinito

Esempi di calcoli di limiti

Forme indeterminate

 Mediante il concetto di limite è stato possibile dare un senso alle seguenti operazioni:

Tuttavia vi sono ancora alcune forme alle quali non possiamo assegnare un valore: le forme indeterminate.

 CASO  0/0 

 Il caso 0/0 si presenta solo se la funzione si annulla contemporaneamente al numeratore ed al denominatore.

Per calcolare questi "tipi di limiti" bisogna eliminare la causa dell'indeterminazione scomponendo numeratore e denominatore (oppure utilizzando la regola di Ruffini dividendo  numeratore e denominatore per "X meno il valore a cui tende il limite") e successivamente semplificare. 

 CASO  ∞/∞

Questa forma indeterminata si presenta generalmente quando si ha il "limite per x tendente ad ∞".

In questo caso "forzo" il raccoglimento (al numeratore e al denominatore) di X elevato al più piccolo tra i gradi dei due polinomi ed eseguendo successivamente la semplificazione.

Considerando l'ordine degli infiniti possiamo distinguere tra le 3 seguenti situazioni:

• il numeratore è di ordine superiore → il limite è uguale ad  infinito
• numeratore e denominatore sono dello stesso ordine → il limite è uguale  rapporto tra i coefficienti dei  termini di grado più alto
• il denominatore è di ordine superiore → il limite è uguale a zero

Per gli altri casi si rimanda al libro di testo

Esempi